teorema de Pitágoras
Mayo 23rd, 2008 by aacienfuegosTeorema de Pitágoras
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El Teorema de Pitágoras, fue descubierto por Pitágoras de Samos (582 adC – 507 adC) y es uno de los más conocidos y estudiados en todo el mundo. Establece lo siguiente:
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos.
Si un triángulo tiene catetos de longitud a y b, la longitud c de la hipotenusa es:
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Demostraciones [editar]
El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración de él para alcanzar el grado de Magíster matheseos.
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pitagoream Proposition.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
China: el Chou Pei Suan Ching, y el Chui Chang Suang Shu [editar]
El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 adC. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 adC.
El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.
Prueba visual para un triángulo de a=4, b=3 y c=5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching 500-200 AEC.
Demostración:
- Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:
- Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de a – b
- El área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:
- Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los 4 triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:
